Найти доверительные интервалы для математического ожидания. Доверительный интервал. Что это такое и как его можно использовать? Вопросы для самопроверки студентов
Пусть у нас имеется большое количество предметов, с нормальным распределением некоторых характеристик (например, полный склад однотипных овощей, размер и вес которых варьируется). Вы хотите знать средние характеристики всей партии товара, но у Вас нет ни времени, ни желания измерять и взвешивать каждый овощ. Вы понимаете, что в этом нет необходимости. Но сколько штук надо было бы взять на выборочную проверку? Прежде, чем дать несколько полезных для этой ситуации формул напомним некоторые обозначения. Во-первых, если бы мы все-таки промерили весь склад овощей (это множество элементов называется генеральной совокупностью), то мы узнали бы со всей доступной нам точностью среднее значение веса всей партии. Назовем это среднее значение Х ср.ген . - генеральным средним. Мы уже знаем, что определяется полностью, если известно его среднее значение и отклонение s. Правда, пока мы ни Х ср.ген., ни s генеральной совокупности не знаем. Мы можем только взять некоторую выборку, замерить нужные нам значения и посчитать для этой выборки как среднее значение Х ср.выб., так и среднее квадратическое отклонение S выб. Известно, что если наша выборочная проверка содержит большое количество элементов (обычно n больше 30), и они взяты действительно случайным образом, то s генеральной совокупности почти не будет отличаться от S выб Кроме того, для случая нормального распределения мы можем пользоваться следующими формулами:
С вероятностью 95%
С вероятностью 99%
.
Связь значения t со значением вероятности Р(t), с
которой мы хотим знать доверительный интервал, можно взять из следующей таблицы:
| P(t) | 0,683 | 0,950 | 0,954 | 0,990 | 0,997 |
| t | 1,00 | 1,96 | 2,00 | 2,58 | 3,00 |
Таким образом, мы определили, в каком диапазоне находится среднее значение для генеральной совокупности (с данной вероятностью).
Если у нас нет достаточно большой выборки, мы не можем утверждать, что генеральная совокупность имеет s = S выб. Кроме того, в этом случае проблематична близость выборки к нормальному распределению. В этом случае также пользуются S выб вместо s в формуле:
но значение t для фиксированной вероятности Р(t) будет зависеть от количества элементов в выборке n. Чем больше n, тем ближе будет полученный доверительный интервал к значению, даваемому формулой (1). Значения t в этом случае берутся из другой таблицы (t-критерий Стьюдента), которую мы приводим ниже:
Значения t-критерия Стьюдента для вероятности 0,95 и 0,99
| n | P | n | P | ||
| 0.95 | 0.99 | 0.95 | 0.99 | ||
| 2 | 12.71 | 63.66 | 18 | 2.11 | 2.90 |
| 3 | 4.30 | 9.93 | 19 | 2.10 | 2.88 |
| 4 | 3.18 | 5.84 | 20 | 2.093 | 2.861 |
| 5 | 2.78 | 4.60 | 25 | 2.064 | 2.797 |
| 6 | 2.57 | 4.03 | 30 | 2.045 | 2.756 |
| 7 | 2.45 | 3.71 | 35 | 2.032 | 2.720 |
| 8 | 2.37 | 3.50 | 40 | 2.022 | 2.708 |
| 9 | 2.31 | 3.36 | 45 | 2.016 | 2.692 |
| 10 | 2.26 | 3.25 | 50 | 2.009 | 2.679 |
| 11 | 2.23 | 3.17 | 60 | 2.001 | 2.662 |
| 12 | 2.20 | 3.11 | 70 | 1.996 | 2.649 |
| 13 | 2.18 | 3.06 | 80 | 1.991 | 2.640 |
| 14 | 2.16 | 3.01 | 90 | 1.987 | 2.633 |
| 15 | 2.15 | 2.98 | 100 | 1.984 | 2.627 |
| 16 | 2.13 | 2.95 | 120 | 1.980 | 2.617 |
| 17 | 2.12 | 2.92 | >120 | 1.960 | 2.576 |
Пример 3. Из работников фирмы случайным образом отобрано 30 человек. По выборке оказалось, что средняя зарплата (в месяц) составляет 10 тыс. рублей при среднем квадратическом отклонении 3 тыс. рублей. С вероятностью 0,99 определить среднюю зарплату в фирме. Решение: По условию имеем n = 30, Х ср. =10000, S=3000, Р = 0,99. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся формулой, соответствующей критерию Стьюдента. По таблице для n = 30 и Р = 0,99 находим t=2,756, следовательно,
т.е. искомый доверительный интервал 27484 < Х ср.ген < 32516.
Итак, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что интервал (27484; 32516)
содержит внутри себя среднюю зарплату в фирме.
Мы надеемся, что Вы будете пользоваться этим методом, при этом не
обязательно, чтобы при Вас каждый раз была таблица. Подсчеты можно проводить
в Excel автоматически. Находясь в файле Excel, нажмите в верхнем меню кнопку
fx. Затем, выберите среди функций тип "статистические", и из
предложенного перечня в окошке - СТЬЮДРАСПОБР. Затем, по подсказке, поставив
курсор в поле "вероятность" наберите значение обратной вероятности
(т.е. в нашем случае вместо вероятности 0,95 надо набирать вероятность 0,05).
Видимо, электронная таблица составлена так, что результат отвечает на вопрос,
с какой вероятностью мы можем ошибиться. Аналогично в поле "степень
свободы" введите значение (n-1) для своей выборки.
Любая выборка дает лишь приближенное представление о генеральной совокупности, и все выборочные статистические характеристики (средняя, мода, дисперсия…) являются некоторым приближением или говорят оценкой генеральных параметров, которые вычислить в большинстве случаев не представляется возможным из-за недоступности генеральной совокупности (Рисунок 20).
Рисунок 20. Ошибка выборки
Но можно указать интервал, в котором с определенной долей вероятности лежит истинное (генеральное) значение статистической характеристики. Этот интервал называется д оверительный интервал (ДИ).
Так генеральное среднее значение с вероятностью 95% лежит в пределах
от до, (20)
где t – табличное значение критерия Стъюдента для α =0,05 и f = n -1
Может быть найден и 99% ДИ, в этом случае t выбирается для α =0,01.
Какое практическое значение имеет доверительный интервал?
Широкий доверительный интервал показывает, что выборочная средняя неточно отражает генеральную среднюю. Обычно это связано с недостаточным объемом выборки, или же с ее неоднородностью, т.е. большой дисперсией. И то и другое дают большую ошибку среднего и, соответственно, более широкий ДИ. И это является основанием вернуться на этап планирования исследования.
Верхние и нижние пределы ДИ дают оценку, будут ли результаты клинически значимы
Остановимся несколько подробнее на вопросе о статистической и клинической значимости результатов исследования групповых свойств. Вспомним, что задачей статистики является обнаружение хоть каких-либо отличий в генеральных совокупностях, опираясь на выборочные данные. Задачей клиницистов является обнаружение таких (не любых) различий, которые помогут диагностике или лечению. И не всегда статистические выводы являются основанием для клинических выводов. Так, статистически значимое снижение гемоглобина на 3 г/л не является поводом для беспокойства. И, наоборот, если какая-то проблема в организме человека не имеет массового характера на уровне всей популяции, это не основание для того, чтобы этой проблемой не заниматься.
|
Это положение рассмотрим на примере . Исследователи задались вопросом, не отстают ли в росте от своих сверстников мальчики, перенесшие некое инфекционное заболевание. С этой целью было проведено выборочное исследование, в котором приняли участие 10 мальчиков, перенесших эту болезнь. Результаты представлены в таблице 23. Таблица 23. Результаты статобработки
Из этих расчетов следует, что выборочный средний рост мальчиков 10 лет, перенесших некое инфекционное заболевание, близок к норме (132,5 см). Однако нижний предел доверительного интервала (126,6 см) свидетельствует о наличии 95% вероятности того, что истинный средний рост этих детей соответствует понятию «низкий рост», т.е. эти дети отстают в росте. В этом примере результаты расчетов доверительного интервала клинически значимы. |
|||||||||||||||||||
Константин Кравчик доходчиво объясняет, что такое доверительный интервал в медицинских исследованиях и как его использовать
«Катрен-Стиль» продолжает публикацию цикла Константина Кравчика о медицинской статистике. В двух предыдущих статьях автор касался объяснения таких понятий, как и .
Константин Кравчик
Математик-аналитик. Специалист в области статистических исследований в медицине и гуманитарных науках
Город: Москва
Очень часто в статьях по клиническим исследованиям можно встретить загадочное словосочетание: «доверительный интервал» (95 % ДИ или 95 % CI - confidence interval). Например, в статье может быть написано: «Для оценки значимости различий использовали t-критерий Стьюдента с расчетом 95 % доверительного интервала».
Какого же значение «95 % доверительного интервала» и зачем его рассчитывать?
Что такое доверительный интервал? - Это диапазон, в котором находятся истинные средние значения в генеральной совокупности. А что, бывают «неистинные» средние значения? В каком‑то смысле да, бывают. В мы объясняли, что невозможно измерить интересующий параметр во всей генеральной совокупности, поэтому исследователи довольствуются ограниченной выборкой. В этой выборке (например, по массе тела) есть одно среднее значение (определенный вес), по которому мы и судим о среднем значении во всей генеральной совокупности. Однако едва ли средний вес в выборке (особенно небольшой) совпадет со средним весом в генеральной совокупности. Поэтому более правильно рассчитывать и пользоваться диапазоном средних значений генеральной совокупности.
Например, представим, что 95 % доверительный интервал (95 % ДИ) по гемоглобину составляет от 110 до 122 г/л. Это означает, что с вероятностью 95 % истинное среднее значение по гемоглобину в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 110 до 122 г/л. Иными словами, мы не знаем средний показатель гемоглобина в генеральной совокупности, но можем с 95 %-й вероятностью указать диапазон значений для этого признака.
Доверительный интервал особенно уместен для разницы в средних значениях между группами или, как это называют, в размере эффекта.
Допустим, мы сравнивали эффективность двух препаратов железа: давно присутствующего на рынке и только что зарегистрированного. После курса терапии оценили концентрацию гемоглобина в исследуемых группах пациентов, и статистическая программа нам посчитала, что разность между средними значениями двух групп с вероятностью 95 % находится в диапазоне от 1,72 до 14,36 г/л (табл. 1).
Табл. 1. Критерий для независимых выборок
(сравниваются группы по уровню гемоглобина)
Трактовать это следует так: у части пациентов генеральной совокупности, которая принимает новый препарат, гемоглобин будет выше в среднем на 1,72–14,36 г/л, чем у тех, кто принимал уже известный препарат.
Иными словами, в генеральной совокупности разность в средних значениях по гемоглобину у групп с 95 %-й вероятностью находится в этих пределах. Судить, много это или мало, будет уже исследователь. Смысл всего этого в том, что мы работаем не с одним средним значением, а с диапазоном значений, следовательно, мы более достоверно оцениваем разницу по параметру между группами.
В статистических пакетах, на усмотрение исследователя, можно самостоятельно сужать или расширять границы доверительного интервала. Снижая вероятности доверительного интервала, мы сужаем диапазон средних. Например, при 90 % ДИ диапазон средних (или разницы средних) будет уже, чем при 95 %.
И наоборот, увеличение вероятности до 99 % расширяет диапазон значений. При сравнении групп нижняя граница ДИ может пересечь нулевую отметку. Например, если мы расширили границы доверительного интервала до 99 %, то границы интервала расположились от –1 до 16 г/л. Это означает, что в генеральной совокупности есть группы, различие средних между которыми по изучаемому признаку равняется 0 (М=0).
При помощи доверительного интервала можно проверять статистические гипотезы. Если доверительный интервал пересекает нулевое значение, то нулевая гипотеза, предполагающая, что группы не различаются по изучаемому параметру, верна. Пример описан выше, когда мы расширили границы до 99 %. Где‑то в генеральной совокупности у нас нашлись группы, которые никак не различались.
95% доверительный интервал разницы по гемоглобину, (г/л)
На рисунке в виде линии изображен 95 % доверительный интервал разницы средних значений по гемоглобину между двумя группами. Линия проходит нулевую отметку, следовательно, имеет место разница между средними значениями, равная нулю, что подтверждает нулевую гипотезу о том, что группы не различаются. Диапазон разницы между группами лежит от –2 до 5 г/л, Это означает, что гемоглобин может как снизиться на 2 г/л, так и повыситься на 5 г/л.
Доверительный интервал - очень важный показатель. Благодаря ему можно посмотреть, были ли различия в группах действительно за счет разности средних или за счет большой выборки, т. к. при большой выборке шансы найти различия больше, чем при малой.
На практике это может выглядеть так. Мы взяли выборку в 1000 человек, измерили уровень гемоглобина и обнаружили, что доверительный интервал разницы средних лежит от 1,2 до 1,5 г/л. Уровень статистической значимости при этом p
Мы видим, что концентрация гемоглобина повысилась, но практически незаметно, следовательно, статистическая значимость появилась именно за счет объема выборки.
Доверительный интервал может быть высчитан не только для средних значений, но и для пропорций (и отношений рисков). Например, нас интересует доверительный интервал пропорций пациентов, которые достигли ремиссии, принимая разработанное лекарство. Допустим, что 95 % ДИ для пропорций, т. е. для доли таких пациентов, лежит в пределах 0,60–0,80. Таким образом, мы можем сказать, что наше лекарство оказывает терапевтический эффект от 60 до 80 % случаев.
Вероятности , признанные достаточным для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называют доверительными .
Обычно, в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95; 0,99; 0,999 (их принято выражать в процентах – 95%, 99%, 99,9%). Чем выше мера ответственности, тем более высокий уровень доверительной вероятности: 99% или 99,9%.
Доверительная вероятность 0,95 (95%) считается достаточной в научных исследованиях в области физической культуры и спорта.
Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится выборочное среднее арифметическое генеральной совокупности, называется доверительным интервалом .
Уровень значимости оценивания – малое число α, значение которого предполагает вероятность того, что выходит за границы доверительного интервала. В соответствии с доверительными вероятностями: α 1 = (1- 0,95) = 0, 05; α 2 = (1 – 0,99) = 0, 01 и т.д.
Доверительный интервал для среднего (математического ожидания) a нормального распределения:
,
где - надежность (доверительная вероятность) оценивания; - выборочное среднее; s - исправленное среднеквадратическое отклонение; n – объем выборки; t γ - величина, определяемая по таблице распределения Стьюдента (см. приложение, табл. 1) при заданных n и γ.
Чтобы найти границы доверительного интервала среднего значения генеральной совокупности необходимо:
1. Вычислить и s.
2. Следует задасться доверительной вероятностью (надежностью) γ оценивания 0,95 (95 %) или уровнем значимости α 0,05 (5 %)
3. По таблице t – распределения Стьюдента (приложение, табл. 1) найти граничные значения t γ .
Так как t– распределение симметрично относительно нулевой точки, достаточно знать только положительное значение t. Например, если объем выборки n=16, то число степеней свободы (degrees of freedom, df ) t – распределения df =16 - 1=15 . По табл. 1 приложения t 0,05 = 2,13.
4. Находим границы доверительного интервала для α = 0,05 и n = 16:
Границы доверия:
При больших объемах выборки (n ≥ 30) t – распределение Стьюдента переходит в нормальное. Поэтому доверительный интервал для при n ≥ 30 можно записать следующим образом:
где u - процентивные точки нормированного нормального распределения .
Для стандартных доверительных вероятностей (95%, 99%; 99, 9%) и уровней значимости α значения (u ) приведены в таблице 8.
Таблица 8
Значения для стандартных доверительных уровней α
| α | u |
| 0,05 | 1,96 |
| 0,01 | 2,58 |
| 0,001 | 3,28 |
Опираясь на данные примера 1, определим границы 95 % - го доверительного интервала (α = 0,05) для среднего результата прыжка вверх с места. В нашем примере объем выборки n = 65, тогда для определения границ доверительного интервала можно использовать рекомендации для большого объема выборки.
Оценка доверительных интервалов
Цели обучения
Статистика рассматривает следующие две основные задачи :
У нас есть некоторая оценка, построенная на выборочных данных, и мы хотим сделать некоторое вероятностное утверждение относительно того, где находится истинное значение оцениваемого параметра.
У нас есть конкретная гипотеза, которую необходимо проверить на основе выборочных данных.
В данной теме мы рассматриваем первую задачу. Введем также определение доверительного интервала.
Доверительный интервал - это интервал, который строится вокруг оценочного значения параметра и показывает, где находится истинное значение оцениваемого параметра с априори заданной вероятностью.
Изучив материал данной темы, Вы:
узнаете, что такое доверительный интервал оценки;
научитесь классифицировать статистические задачи;
освоите технику построения доверительных интервалов, как по статистическим формулам, так и с помощью программного инструментария;
научитесь определять необходимые размеры выборок для достижения определенных параметров точности статистических оценок.
Распределения выборочных характеристик
Т-распределение
Как обсуждали выше распределение случайной величины близко к стандартизованному нормальному распределению с параметрами 0 и 1. Поскольку нам не известна величина σ, мы заменяем ее на некоторую оценку s . Величина уже имеет другое распределение, а именно или Распределение Стьюдента , которое определяется параметром n -1 (число степеней свободы). Это распределение близко к нормальному распределению (чем больше n , тем распределения ближе).
На рис. 95 
представлено распределение Стьюдента с 30 степенями свободы. Как видно, оно весьма близко к нормальному распределению.
Аналогично функциям для работы с нормальным распределением НОРМРАСП
и НОРМОБР
имеются функции для работы с t-распределением - СТЬЮДРАСП (TDIST)
и СТЬЮДРАСПОБР (TINV)
. Пример использования этих функций можно посмотреть в файле СТЬЮДРАСП.XLS (шаблон
и решение
) и на рис. 96 
.
Распределения других характеристик
Как мы уже знаем, для определения точности оценивания математического ожидания нам необходимо t-распределение. Для оценивания других параметров, например, дисперсии, требуются другие распределения. Два из них - это F-распределение и x 2 -распределение .
Доверительный интервал для среднего значения
Доверительный интервал - это интервал, который строится вокруг оценочного значения параметра и показывает, где находится истинное значение оцениваемого параметра с априори заданной вероятностью.
Построение доверительного интервала для среднего значения происходит следующим образом :
Пример
В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. Как это осуществить? (см. файл СЭНДВИЧ1.XLS (шаблон и решение ).
Решение
Для решения данной задачи можно воспользоваться . Результаты представлены на рис. 97 
.
Доверительный интервал для суммарного значения
Иногда по выборочным данным требуется оценить не математическое ожидание, а общую сумму значений. Например, в ситуации с аудитором интерес может представлять оценка не средней величины счета, а суммы всех счетов.
Пусть N - общее количество элементов, n - размер выборки, T 3 - сумма значений в выборке, T" - оценка для суммы по всей совокупности, тогда , а доверительный интервал вычисляется по формуле , где s - оценка стандартного отклонения для выборки, - оценка среднего для выборки.
Пример
Допустим, некоторая налоговая служба хочет оценить размер суммарных налоговых возвратов для 10 000 налогоплательщиков. Налогоплательщик либо получает возврат, либо доплачивает налоги. Найдите 95%-й доверительный интервал для суммы возврата при условии, что размер выборки составляет 500 человек (см. файл СУММА ВОЗВРАТОВ.XLS (шаблон и решение ).
Решение
В StatPro
нет специальной процедуры для этого случая, однако можно заметить, что границы можно получить из границ для среднего исходя из вышеприведенных формул (рис. 98 
).
Доверительный интервал для пропорции
Пусть p - математическое ожидание доли клиентов, а р в
- оценка этой доли, полученная по выборке размера n. Можно показать, что для достаточно больших 
распределение оценки будет близко к нормальному с математическим ожиданием p
и стандартным отклонением 
. Стандартная ошибка оценки в данном случае выражается как 
, а доверительный интервал как 
.
Пример
В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом выбрал 40 посетителей из тех, кто уже попробовал его и предложил им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемую долю клиентов, которые оценивают новый продукт не менее чем в 6 баллов (он ожидает, что именно эти клиенты и будут потребителями нового продукта).
Решение
Первоначально создаем новый столбец по признаку 1, если оценка клиента была больше 6 баллов и 0 иначе (см. файл СЭНДВИЧ2.XLS (шаблон и решение ).
Способ 1
Подсчитывая количество 1, оцениваем долю, а далее используем формулы.
Значение z кр берется из специальных таблиц нормального распределения (например, 1,96 для 95%-го доверительного интервала).
Используя данный подход и конкретные данные для построения 95%-го интервала, получим следующие результаты (рис. 99 
). Критическое значение параметра z кр
равно 1,96. Стандартная ошибка оценки - 0,077. Нижняя граница доверительного интервала - 0,475. Верхняя граница доверительного интервала - 0,775. Таким образом, менеджер вправе полагать с 95%-й долей уверенности, что процент клиентов, оценивших новый продукт на 6 баллов и выше, будет между 47,5 и 77,5.
Способ 2
Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно заметить, что доля в данном случае совпадает со средним значением столбца Тип . Далее применим StatPro/Statistical Inference/One-Sample Analysis для построения доверительного интервала среднего значения (оценки математического ожидания) для столбца Тип . Полученные в этом случае результат, будут весьма близок к результату 1-го способа (рис. 99).
Доверительный интервал для стандартного отклонения
В качестве оценки стандартного отклонения используется s (формула приведена в разделе 1). Функцией плотности распределения оценки s является функция хи-квадрат , которая, как и t-распределение, имеет n-1 степень свободы. Имеются специальные функции для работы с этим распределением ХИ2РАСП (CHIDIST) и ХИ2ОБР (CHIINV) .
Доверительный интервал в этом случае уже будет не симметричным. Условная схема границ представлена на рис. 100 .
Пример
Станок должен производить детали диаметром 10 см. Однако в силу различных обстоятельств происходят ошибки. Контролера по качеству волнуют два обстоятельства: во-первых, среднее значение должно равняться 10 см; во-вторых, даже в этом случае, если отклонения будут велики, то многие детали будут забракованы. Ежедневно он делает выборку из 50 деталей (см. файл КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА.XLS (шаблон и решение ). Какие выводы может дать такая выборка?
Решение
Построим 95%-й доверительные интервалы для среднего и для стандартного отклонения с помощью StatPro/Statistical Inference/ One-Sample Analysis
(рис. 101 
).
Далее, используя предположение о нормальном распределении диаметров, рассчитаем долю бракованных изделий, задавшись предельным отклонением 0,065. Используя возможности таблицы подстановки (случай двух параметров), построим зависимость доли брака от среднего значения и стандартного отклонения (рис. 102 
).
Доверительный интервал для разности двух средних значений
Это одно из наиболее важных применений статистических методов. Примеры ситуаций.
Менеджер магазина одежды хотел бы знать, на сколько больше или меньше тратит в магазине средняя женщина-покупатель, чем мужчина.
Две авиакомпании летают аналогичными маршрутами. Организация-потребитель хотела бы сравнить разницу между среднеожидаемыми временами задержек рейсов по обеим авиакомпаниям.
Компания рассылает купоны на отдельные виды товаров в одном городе и не рассылает в другом. Менеджеры хотят сравнить средние объемы покупок этих товаров в ближайшие два месяца.
Автомобильный дилер часто имеет дело на презентациях с замужними парами. Чтобы понять их персональную реакцию на презентацию, пары часто опрашивают отдельно. Менеджер хочет оценить разницу в рейтингах указываемых мужчинами и женщинами.
Случай независимых выборок
Разность средних значений будет иметь t-распределение с n 1 + n 2 - 2 степенями свободы. Доверительный интервал для μ 1 - μ 2 выражается соотношением:
Данная задача допускает решение не только по вышеприведенным формулам, но и стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно применить
Доверительный интервал для разности между пропорциями
Пусть - математическое ожидание долей. Пусть - их выборочные оценки, построенные по выборкам размера n 1 и n 2 соответственно. Тогда является оценкой для разности . Следовательно, доверительный интервал этой разности выражается как:
Здесь z кр является значением, полученным из нормального распределения по специальным таблицам (например, 1,96 для 95%-й доверительного интервала).
Стандартная ошибка оценки выражается в данном случае соотношением:
.
Пример
Магазин, готовясь к большой распродаже, предпринял следующие маркетинговые исследования. Были выбраны 300 лучших покупателей, которые в свою очередь были случайным образом поделены на две группы по 150 членов в каждой. Всем из отобранных покупателей были разосланы приглашения для участия в распродаже, но только для членов первой группы был приложен купон, дающий право на скидку 5%. В ходе распродажи покупки всех 300 отобранных покупателей фиксировались. Каким образом менеджер может интерпретировать полученные результаты и сделать заключение об эффективности предоставления купонов? (см. файл КУПОНЫ.XLS (шаблон и решение )).
Решение
Для нашего конкретного случая из 150 покупателей, получивших купон на скидку, 55 сделали покупку на распродаже, а среди 150, не получивших купон, покупку сделали только 35 (рис. 103 
). Тогда значения выборочных пропорций соответственно 0,3667 и 0,2333. А выборочная разность между ними равна соответственно 0,1333. Полагая доверительный интервал 95%-м, находим по таблице нормального распределения z кр
= 1,96. Вычисление стандартной ошибки выборочной разности равно 0,0524. Окончательно получаем, что нижняя граница 95%-го доверительного интервала равна 0,0307, а верхняя граница 0,2359 соответственно. Полученные результаты можно интерпретировать таким образом, что на каждых 100 покупателей, получивших купон со скидкой, можно ожидать от 3 до 23 новых покупателей. Однако надо иметь в виду, что этот вывод сам по себе еще не означает эффективности применения купонов (поскольку, предоставляя скидку, мы теряем в прибыли!). Продемонстрируем это на конкретных данных. Предположим, что средний размер покупки равен 400 руб., из которых 50 руб. есть прибыль магазина. Тогда ожидаемая прибыль на 100 покупателях, не получивших купон, равна:
50 0,2333 100 = 1166,50 руб.
Аналогичные вычисления для 100 покупателей получивших купон, дают:
30 0,3667 100 = 1100,10 руб.
Уменьшение средней прибыли до 30 объясняется тем, что, используя скидку, покупатели, получившие купон, в среднем будут делать покупку на 380 руб.
Таким образом, итоговый вывод говорит о неэффективности использования таких купонов в данной конкретной ситуации.
Замечание. Данная задача допускает решение стандартными средствами StatPro . Для этого достаточно свести данную задачу к задаче оценки разности двух средних способом, а далее применить StatPro/Statistical Inference/Two-Sample Analysis для построения доверительного интервала разности двух средних значений.
Управление длиной доверительного интервала
Длина доверительного интервала зависит от следующих условий :
непосредственно данных (стандартное отклонение);
уровня значимости;
размера выборки.
Размер выборки для оценки среднего значения
Сначала рассмотрим задачу в общем случае. Обозначим данное нам значение половины длины доверительного интервала за В
(рис. 104 
). Нам известно, что доверительный интервал для среднего значения некоторой случайной величины X
выражается как 
, где 
. Полагая:
и выражая n
, получим .
К сожалению, точное значение дисперсии случайной величины X нам не известно. Кроме этого, нам неизвестно и значение t кр , так как оно зависит от n через количество степеней свободы. В данной ситуации мы можем поступить следующим образом. Вместо дисперсии s используем какую-либо оценку дисперсии, по каким-либо имеющимся реализациям исследуемой случайной величины. Вместо значения t кр используем значение z кр для нормального распределения. Это вполне допустимо, поскольку функции плотности распределений для нормального и t-распределения очень близки (за исключением случая малых n ). Таким образом, искомая формула принимает вид:
.
Поскольку формула дает, вообще говоря, нецелочисленные результат, в качестве искомого размера выборки берется округление с избытком результата.
Пример
В ресторане быстрого обслуживания планируется расширить ассортимент новым видом сэндвича. Для того чтобы оценить спрос на него, менеджер случайным образом планирует выбрать некоторое количество посетителей из тех, кто уже попробовал его, и предложить им оценить их отношение к новому продукту в баллах от 1 до 10. Менеджер хочет оценить ожидаемое количество баллов, которое получит новый продукт и построить 95%-й доверительный интервал этой оценки. При этом он хочет, чтобы половина ширины доверительного интервала не превышала 0,3. Какое количество посетителей ему необходимо опросить?
выглядит следующим образом:
Здесь р оц - оценка доли p , а В есть заданная половина длины доверительного интервала. Завышенное значение для n можно получить, используя значение р оц = 0,5. В этом случае длина доверительного интервала не будет превосходить заданного значения В при любом истинном значении p .
Пример
Пусть менеджер из предыдущего примера планирует оценить долю клиентов, отдавших предпочтение новому виду продукции. Он хочет построить 90%-й доверительный интервал, половина длины которого не превосходила бы 0,05. Сколько клиентов должно войти в случайную выборку?
Решение
В нашем случае значение z кр
= 1,645. Поэтому искомое количество вычисляется как 
.
Если бы менеджер имел основания полагать, что искомое значение p составляет, например, примерно 0,3, то, подставляя это значение в вышеприведенную формулу, мы получили бы меньшее значение величины случайной выборки, а именно 228.
Формула для определения размеров случайной выборки в случае разности между двумя средними значениями записывается как:
.
Пример
Некоторая компьютерная компания имеет сервисный центр по обслуживанию клиентов. В последнее время увеличилось количество жалоб клиентов на плохое качество обслуживания. В сервисном центре в основном работают сотрудники двух типов: не имеющие большого опыта, но закончившие специальные подготовительные курсы, и имеющие большой практический опыт, но не закончившие специальных курсов. Компания хочет проанализировать нарекания клиентов за последние полгода и сравнить их средние количества, приходящиеся на каждую из двух групп сотрудников. Предполагается, что количества в выборках по обеим группам будут одинаковые. Какое количество сотрудников необходимо включить в выборку, чтобы получить 95%-й интервал с половиной длины не более 2?
Решение
Здесь σ оц есть оценка стандартного отклонения обеих случайных переменных в предположении, что они близки. Таким образом, в нашей задаче нам необходимо каким-то образом получить эту оценку. Это можно сделать, например, следующим образом. Просмотрев данные по нареканиям клиентов за последние полгода, менеджер может заметить, что на каждого сотрудника в основном приходится от 6 до 36 нареканий. Зная, что для нормального распределения практически все значения удалены от среднего значения не более чем на три стандартных отклонения, он может с определенным основанием полагать, что:
Откуда σ оц = 5.
Подставляя это значение в формулу, получаем 
.
Формула для определения размера случайной выборки в случае оценки разности между долями имеет вид:
Пример
Некоторая компания имеет две фабрики по производству аналогичной продукции. Менеджер компании хочет сравнить доли бракованной продукции на обеих фабриках. По имеющейся информации процент брака на обеих фабриках составляет от 3 до 5%. Предполагается построить 99%-й доверительный интервал с половиной длины не более 0,005 (или 0,5%). Какое количество изделий необходимо отобрать с каждой фабрики?
Решение
Здесь р 1оц и р 2оц являются оценками двух неизвестных долей брака на 1-й и 2-й фабрике. Если положить р 1оц = р 2оц = 0,5, то мы получим завышенное значение для n . Но поскольку в нашем случае мы имеем некоторую априорную информацию об этих долях, то мы берем верхнюю оценку этих долей, а именно 0,05. Получаем
Когда делается оценка некоторых параметров совокупности по выборочным данным, полезно дать не только точечную оценку параметра, но и указать доверительный интервал, который показывает, где может находиться точное значение оцениваемого параметра.
В данной главе мы также познакомились с количественными соотношениями, позволяющими строить такие интервалы для различных параметров; узнали способы управления длиной доверительного интервала.
Отметим также, что задачу оценки размеров выборки (задача планирования эксперимента) можно решить, используя стандартные средства StatPro , а именно StatPro/Statistical Inference/Sample Size Selection .
